انتگرال چگونه محاسبه میشود همراه با مهمترین فرمول های انتگرال

در این مقاله به سوال انتگرال چگونه محاسبه میشود پاسخ داده شده و مهمترین فرمول های انتگرال گیری هم معرفی خواهد شد. انتگرا جزو مهمترین مباحث ریاضی است و علاوه بر اینکه در خود درس ریاضی به صورت مستقیم از این درس سوال مطرح می شود در درس های دیگر هم کاربرد بسیار زیادی دارد.

مهمترین روابط و فرمول های انتگرال گیری

برای محاسبه انتگرال در مرحله اول باید مهمترین فرمول های آن را بلد باشید. به عنوان مثال به شکل زیر دقت کنید. چند فرمول بسیار مهم از انتگرال که باید 100 درصد حفظ باشید ارائه شده است.

البته فرمول های بالا تنها فرمول های مهم انتگرال گیری نیستند و تعداد بسیار بیشتری از این روابط وجود دارند. موارد زیر را هم ببینید.

روابط بالا هم باز کاملترین لیست روابط انتگرال گیری نیست. برای مشاهده فرمول های کامل انتگرال گیری بر روی عبارت مهمترین فرمول ها و روابط انتگرال گیری کلیک کنید. در صفحه آموزش انتگرال در ویکی پدیا هم مطالب آموزشی بسیار خوبی ارائه شده است. انتگرال Ln، انتگرال e، انتگرال توابع نمائی و ... مواردی هستند که باید با دقت مورد بررسی قرار گیرند. از مهمترین انتگرال هایی که محاسبه می شوند انتگرال توابع مثلثاتی است که روابط مهم آن در شکل زیر ارائه شده است.

روش جزء به جزء و تغییر متغیر مثلثاتی

علاوه بر روابط انتگرال گیری باید بر تکنیک های محاسبه انتگرال هم مسلط باشید. مثلا باید بلد باشید از تغییر متغیر استفاده کنید و یا تکنیک و روش بسیار پرکاربرد جزء به جزء برای محاسبه انتگرال را خوب یاد گرفته باشید. وقتی یک تابع چند جمله ای در یک تابع مثلثاتی یا نمایی ضرب شده باشد، در این حالت استفاده از روش جزء به جزء برای محاسبه انتگرال بسیار مفید است. در روش جزء به جزء در واقع انتگرال محاسبه نمی شود ولی انتگرال به یک انتگرال ساده تر تبدیل خواهد شد. در شکل زیر انتگرال xsinx با روش جز به جز محاسبه شده است. مشاهده می شود که x را به عنوان تابعی که قرار است از آن مشتق گرفته شود و sinx را به عنوان تابعی که قرار است از آن انتگرال گرفته شود انتخاب کرده ایم. این انتخاب ها باید درست انجام شود. اگر شما برعکس این کاری که اینجا انجام شده را انجام می دادید، انتگرال نهایی ای که در روش جز به جز بدست می آوردید  ساده تر که نمی شد هیچ، سخت تر هم می شد. ادامه حل مثال تا به نتیجه رسیدن آن در شکل زیر نشان داده شد است. در تصویر زیر بخشی که با رنگ قرمز نشان داده شده است فرمول اصلی روش جز به جز می باشد.

محاسبه انتگرال معین با روش های تقریبی و عددی

انتگرال‌های معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال‌گیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آن‌ها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.  از دیگر روش‌هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

نحوه محاسبه انتگرال به صورت گام به گام و به زبان ساده

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده‌است که بر طبق آن داریم:

1-f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم.

2- پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند F.

3- قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم؛ بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیک‌های انتگرال‌گیری دارد این تکنیک‌ها عبارت‌اند از:

الف - انتگرال‌گیری به‌وسیله تغییر متغیر

ب- انتگرال‌گیری جزء به جزء

ج- انتگرال‌گیری با تغییر متغیر مثلثاتی

د- انتگرال‌گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش‌هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفندهایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید. می توانید از فیلم های آموزش انتگرال گیری به عنوان مثال این فیلم آموزش انتگرال به زبان ساده استفاده نمائید. توجه داشته باشید که باید مرحله به مرحله پیش بروید. فرمول ها و روابط بسیار مهم را بلد باشید. تکنیک های مهم انتگرال گیری که در بالا گفته شد را یاد بگیرید. در ادامه تمرینات و مسائل زیادی را برای مبحث انتگرال حل نمائید.

مهمترین روش ها و تکنیک های محاسبه انتگرال

در بسیاری از اوقات محاسبه و حساب کردن انتگرال ها کار بسیار راحتی است و فقط باید بر فرمول ها مسلط باشید. وقتی قرار است از تابعی انتگرال گرفته شود باید بتوانید در ذهن خودتان تصور کنید که چه تابعی بوده است که مشتق آن تابع همین تابع زیر انتگرال می شود. اگر بتوانید چنین تابعی را پیدا کنید حتما جواب انتگرال را هم محاسبه خواهید کرد. البته نکته ای را باید در نظر داشته باشید و آن هم اینکه حساب کردن انتگرال ها همیشه به این سادگی نیست و در مواردی باید از تکنیک های انتگرال گیری استفاده نمائید. از جمله تکنیک های بسیار پرکاربرد برای حساب کردن انواع انتگرال ها می توان به تغییر متغیر، تغییر متغیر مثلثاتی، انتگرال گیری جزء به جزء و .... اشاره کرد. تکنیک های انتگرال گیری در واقع روش هایی هستند که باعث می شود انتگرالی که در حال محاسبه آن هستید به یک انتگرال ساده تر تبدیل شود و به این ترتیب حساب کردن آن راحت تر خواهد بود.

تسلط بر مشتق یعنی تسلط بر انتگرال

برای اینکه بتوانید خوب انتگرال بگیرید قبل از این که تلاش خودتان را برای حل تمرینات شروع کنید و امتحان کنید که انتگرال گرفتن برای شما راحت است یا نه، باید مطالبی را مطالعه کنید. از جمله اینکه بر بحث مشتق گیری و فرمول های آن تا حد خوبی مسلط باشید. در ضمن فرمول های و تکنیک های انتگرال گیری مانند تغییر متغیر معمولی و مثلثاتی و روش جزء به جزء و ... را هم مرور نمائید. اگر این روابط و روش ها را بلد نباشید تلاش شما برای انتگرال گرفتن بی نتیجه خواهد ماند. به عنوان مثال، در روش تغییر متغیر، متغیر جدیدی را به گونه ای بر حسب متغیر زیر انتگرال تعریف می کنید که در نهایت با جاگذاری متغیر جدید در انتگرال عبارت ساده تری بدست آمده و انتگرال گرفتن راحت تر خواهد شد. این روش بسیار پر کاربرد است و باید به خوبی یاد گرفته شود. بنابراین قبل از اینکه سراغ حل تمرینات بروید و بخواهید انتگرال بگیرید مواردی که گفته شد را مطالعه کنید.

برخی از کاربردهای انتگرال

انتگرال در درس ریاضی، فیزیک، دروس رشته های فنی مهندسی و .... کاربردهای فراوانی دارد و یادگیری انتگرال نامعین برای تمام دانش آموزان و دانشجویان الزامی است. به عنوان مثال برای محاسبه مساحت زیر نمودار می توان از انتگرال استفاده نمود. یا در درس فیزیک مثلا اگر نمودار سرعت-جابه جایی را به ما داده باشند، با انتگرال گیری از آن مسافت طی شده بدست خواهد آمد. برای بدست آوردن مرکز سطح و ممان اینرسی و بسیاری از کمیت های فیزیکی دیگر هم از انتگرال استفاده می شود. دانشجویان رشته های مهندسی مکانیک، برق، عمران و ... در درس های خودشان دفعات زیادی با انتگرال و انتگرال گیری سرو کار دارند.

مطالب تکمیلی در رابطه با نحوه آموزش اصولی انتگرال گیری

 در این مقاله در رابطه با آموزش انتگرال از پایه تا سطوح بالا و پیشرفته توضیح داده شد. جزوه های خوبی هم در رابطه با نحوه انتگرال گیری معین و نامعین به صورت pdf معرفی گردید. کافی است بر روی لینک های ارائه شده در بالا کلیک کنید تا مطالب آموزشی خوبی را دانلود نمائید. در ضمن، علاوه بر مهمترین فرمول ها و روابط انتگرال گیری در رابطه با تکنیک های انتگرال گیری مانند تغییر متغیر و جز به جز هم توضیح داده شد. برای اینکه بتوانید جواب انتگرال را به راحتی بدست بیاورید باید تمرین حل کنید و از دانسته های خودتان عملا استفاده نمائید. شما در حالتی که در حال مطالعه جزوه ها و مطالب آموزشی و کتاب ریاضی هستید، فقط مطالب را آموزش می بینید. اگر می خواهید در جلسه امتحان و یا در کنکور بتوانید جواب سوال های مرتبط با انتگرال را بدست بیاورید باید حتما تمرین حل کنید. برای آموزش اصولی ریاضی و انتگرال گیری تمرین حل کردن کاملا لازم است. وقتی تمرین حل می کنید و می خواهید جواب انتگرال را بدست بیاورید مشخص خواهد شد که به چه میزان مطالب را یاد گرفته اید. سعی کنید انواع تغییر متغیرها را یاد بگیرید و روش جز به جز را خیلی خوب و اصولی آموزش ببینید. اگر در مبحث انتگرال اشکال دارید از معلم ریاضی کمک بگیرید. انتگرال جزو مهمترین مباحث ریاضی است و با یادگیری بهتر آن می توانید در امتحان موفق باشید و در کنکور هم درصد بالایی بزنید.

نحوه محاسبه انتگرال چند جمله ای

محاسبه انتگرال چند جمله ای راحت است. کافی است یک عدد به توان اضافه کنید و همان توان را هم در مخرج قرار دهید. به عنوان مثال حاصل انتگرال x به توان 3 برابر است با x به توان 4 تقسیم بر 4. در مثال زیر هم بر همین مبنا حاصل انتگرال محاسبه شده است. حاصل 3x^5 برابر x^6/2 شده است و حاصل انتگرال 2x برابر x^2 شده است (در این روابط ^ معنی توان را می دهد). بعد از محاسبه انتگرال در انتگرال های معین باید حد بالا را جاگذاری کنید و حد پایین انتگرال گیری را هم به همین ترتیب جاگذاری نمائید و نتایج بدست آمده را از هم کم کنید. به مثال زیر دقت کنید. یک بار به جای x عدد 2 (حد بالای انتگرال گیری) و یک بار دیگر عدد 1 (حد پایین انتگرال گیری) را قرار داده ایم و در نهایت مقادیر بدست آمده را از هم کم نموده ایم. حاصل انتگرال معین یک عدد است و باید دقت کنید نتیجه درست بدست بیاید. اگر شما بر مبحث انتگرال گیری مسلط باشید و جواب را درست بدست بیاورید جاگذاری حد بالا و پایین دیگر کاری ندارد. در سایت http://integral-table.com/ هم می توانید مهمترین فرمول های انتگرال گیری را ببینید.

منبع: ایران مدرس https://www.iranmodares.com/index.php